Простые и сложные проценты

Что такое сложный процент в инвестициях простыми словами

Знание механизма расчета по депозиту позволяет вкладчикам составить прогноз дохода. Этот расчет доступен при заключении соглашений, выполнении транзакций, перед начислением вознаграждения и капитализацией прибыли.

Банки пользуются простыми и сложными формулами.

При этом применяется фиксированная ставка, которая закрепляется договором при размещении депозита, может регулироваться в случаях:

• автоматической пролонгации договора;
• досрочного закрытия.

Плавающий тип может меняться на протяжении действия соглашения.

Изменение ставок в этом случае привязано к таким факторам:

• курсу валют;
• переводу депозита в другую категорию.

При расчете дохода учитывается ряд показателей:

• инвестиционная сумма;
• процентная ставка, ее тип;
• периодичность начислений;
• срок договора.

При использовании простой схемы расчета итог получается в результате таких математических действий. Начальная сумма умножается на годовую ставку и количество дней начисления вознаграждения и делится на количество дней по календарю и на 100.

Зачем инвестировать под сложный процент

При инвестировании денег рекомендуется выбрать оптимальный вариант, который позволит использовать преимущества сложных ставок. Вложению денег всегда предшествует планирование, анализ поставленной задачи. Капитализация прибыли от инвестирования на счет позволяет получить дополнительный доход.

Простой расчет

Эффективной ставкой считается номинальный процент, который начисляется на сумму с капитализацией. Рассчитать доход можно в программе Excel. Для этого следует ввести исходные данные, формулы на базовый депозит, сумму с капитализацией. Действия выполняются автоматически, поэтому для получения корректного результата рекомендуется внимательно ввести информацию.

Формула

Плата за пользование средствами финансовым учреждением начисляется ежемесячно. Если вкладчик не будет снимать эти средства со счета, то они дополнят сумму основного депозита.

Формула сложного процента записывается: S=X*(1+%)n, где

• S — конечная сумма;
• X — начальный вклад;
• % — годовая ставка;
• n — количество периодов.

В результате прибыль добавляется к сумме и дает доход. Сложный расчет может действовать при открытии .

Выбирая программное предложение банка, нужно ориентироваться на итоговый доход в денежном выражении, который получится при размещении средств.

Ключевые различия между простым интересом и сложным интересом

Ниже приведены основные различия между простым и сложным интересом:

1. Проценты, начисляемые на основную сумму за весь срок кредита, известны как простые проценты. Проценты, начисляемые как на основную сумму, так и на ранее заработанные проценты, называются сложными процентами.
2. Сложный процент дает высокую доходность по сравнению с простым процентом.
3. В Простом Проценте основное значение остается постоянным, в то время как в случае Сложного Процента Основное значение изменяется из-за эффекта сложения.
4. Темпы роста Простых процентов ниже, чем сложных процентов.
5. Расчет простого процента прост, а расчет сложного процента сложен.

пример

Предположим, Алекс депонировал рупий. 1000 в банк под 5% годовых (простой и составной) в год на 3 года. Узнайте общий интерес, который он получит в конце третьего года?

Решение : здесь P = 1000, r = 5% и t = 3 года

Простой интерес =

Сложный процент =

Заключение

Проценты — это плата за использование чужих денег. Существует много причин для выплаты процентов, таких как временная стоимость денег, инфляция, альтернативные издержки и фактор риска. Простой процент быстро рассчитывается, но сложный процент практически сложен. Если вы рассчитываете как простой процент, так и сложный процент для данного принципала, ставки и времени, вы всегда обнаружите, что сложный процент всегда выше, чем простой процент из-за сложного эффекта на него.

Понятие простых процентов и как они рассчитываются

Простые проценты – это проценты, начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем. 

Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк депозит на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:

• через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
• через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
• через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).

Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:

S = (P x I x Т / K) / 100, где:

S– сумма насчитанных процентов (руб.);

P– начальная сумма вложенных средств;

I– процентная ставка за год;

Т – срок действия вклада в днях;

K– число дней в году.

То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10% годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:

(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).

Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.

Это интересно: Обязанности таможенного брокера, кто это такой

Дополнительные параметры и настройки стандартных кредитных алгоритмов

1. Параметры для расчета кредитных продуктов

В программе все платежи учитываются в конце периодов и называются платежами постнумерандо.

Максимальный срок расчета кредитов – 10 лет (120 месяцев).

Заметим, так как шкала времени в Budget-Plan Express 3 года (36 месяцев), все расчеты, после 36-го месяца, относятся к будущему периоду.

В «общих настройках» указываются общие параметры расчета:

1. Шаг расчета (в месяцах, днях);
2. Метод учета годового цикла (ACT/ACT, ACT/360, 360/360);
3. Предельный процент;
4. Расчетный процент (простой, сложный);
5. Расчетная валюта.

Выбирая формулу и условия расчета, можно смоделировать практически любой расчет. К условиям расчета, помимо общих настроек, относятся:

1. Периодичность платежей;
2. Отсрочка по долгу;
3. Отсрочка по процентам;
4. Учет прогрессий;
5. Учет прочих разовых платежей;
6. Учет прочих периодических платежей;
7. Коррекция ставок.

Для нестандартных расчетов можно воспользоваться вкладкой «Таблица платежей«, где можно указать платежи в соответствие с графиком.

2. Платежи, рассчитанные в валюте

Все платежи отображаются в «Таблица платежей» в той валюте, к которой они относятся. При этом на момент выплат, в «Таблица платежей» также рассчитываются расходы (доходы), связанные с курсовыми разницами – в системной (основной) валюте. В тоже время, все расчеты в финансовом плане представлены в системной (основной) валюте. В отчете о прибылях и убытка курсовые разницы отражены в строке (16): «Прочие внереализационные расходы (доходы)» и не включены в «Расходы по обслуживанию долга».

При расчете кредита, например, в долларах, в «финансовом плане» они будут пересчитаны в рубли – по прогнозному курсу.

3. Прогрессивные выплаты долга

Прогрессивные выплаты используются только для «стандартного» кредитного продукта, когда процентные деньги погашаются в зависимости от остатка долга.

• 1. Платежи, изменяющиеся в

арифметической прогрессии:

Z = [2B₁ + d (n-1)] n / 2,

отсюда первая выплата долга:

B₁ = Z / n — d(n-1) / 2

где:
Z – сумма долга,
B₁ – первая выплата долга,
d – разность арифметической прогрессии (сумма).

2. Платежи, изменяющиеся в геометрической прогрессии:

Z = B₁ / ,

отсюда первая выплата долга:

B₁ = Z /

где:
Z – сумма долга,
B₁ – первая выплата долга,
q – знаменатель геометрической прогрессии (процент).

4. Способы определения количества дней

В общепринятой практике существует несколько способов определения срока возврата ссуд t (в годах) для ссуд, выданных на
срок, который исчисляется в днях. В каждом из этих способов срок
возврата ссуды t (в годах) вычисляется по формуле:

t = s / g,

где числа s и g определяются в зависимости от способа расчета:
1. «Английский» способ или ACT/ACT.
Число s равно точному числу дней ссуды минус один день (день
выдачи и день погашения ссуды считаются одним днем), число g равно точному числу дней в году (365 или 366). Этот способ
называется английским и часто упоминается, как способ 365/365
или ACT/ACT.
2. «Французский» способ или ACT/360.
Число s равно точному числу дней ссуды минус один день (день
выдачи и день погашения ссуды считаются одним днем), число
g равно 360 (в году 12 месяцев по 30 дней). Этот способ
называется французским и часто упоминается, как способ
365/360 или ACT/360.
3. «Немецкий» способ или 360/360.
Число g равно 360 (в году 12 месяцев по 30 дней), число s
состоит из полного числа месяцев (по 30 дней) плюс точное
число дней в оставшемся неполном месяце минус один день
(день выдачи и день погашения ссуды считаются одним днем).
Этот способ называется немецким и часто упоминается, как
способ 360/360.

В финансовой практике, чтобы определить точное число дней ссуды t, используют специальные таблицы, в которых указаны порядковые номера даты в стандартном году.
Число дней между датами определяется как разность между номерами этих дат.

В Budget-Plan Express алгоритм определения точного количества дней «зашит» в расчет. Чтобы использовать этот алгоритм, нужно указать шаг расчета в днях (вкладка «настройки»).

5. Метод расчета предельной величины процентов по ставке рефинансирования

Предельный процент – это предельная величина процентов, признаваемых расходом, включая проценты и суммовые разницы по обязательствам. Рассчитывается с учетом ставки рефинансирования: ставка рефинансирования помноженная на коэффициент.
Зависит от налогового законодательства (той или иной страны) в конкретном случае. В некоторых налоговых законодательствах коэффициент может зависеть от валюты кредита. Например, предельная ставка в рублях = ставка рефинансирования * 1,8, предельная ставка в валюте = ставка рефинансирования * 0,8.

Справка о программе «Budget-Plan Express», www.strategic-line.ru | Содержание справки

Формула начисления простых процентов

Расчет наращенной суммы вклада

Данной формулой необходимо воспользоваться если начисление процентов происходит в конце действия депозита.

S = P × (1 + n × i),

где S — наращенная сумма; P — сумма вклада (первоначальная сумма); n — период размещения вклада; i — годовая процентная ставка.

Пример расчета наращенной суммы по формуле простых процентов

Первоначальная сумма вклада P = 45000 руб. помещена в банк на n = 2 года под i = 15% годовых. Определим наращенную сумму после двух лет

S = 45000 × (1 + 2 × 0,15) = 58500 руб.

Следовательно, за два года размещения вклада в данном случает доход составит 13500 руб.

Расчет периода начисления вклада

Зная первоначальную сумму вклада P, наращенную сумму S, простую годовую процентную ставку i, можно определить период начисления

n = (S — P)/(i × P).

Данной формулой возможно воспользоваться, например, в случае расчета времени начисления необходимой нам суммы.

Пример расчета периода начисления по формуле простых процентов

Первоначальная сумма P = 10000 руб., необходимо нарастить сумму S до 20000 руб., i = 20% годовых. Определим какой период времени нам понадобится для получения 20000 руб.

n = (20000 — 10000)/(0,2 × 20000) = 2,5 года.

Определение простой годовой процентной ставки

Чтобы определить необходимую нам процентную ставку воспользуемся формулой

i = (S — P)/(n × P).

Пример расчета простой процентной ставки

Имеем первоначальную сумму 30000 руб., необходимо ее нарастить (заработать) до 35000 руб, предполагаем разместить на 1 год. Определим необходимую нам процентную ставку

i = (35000 — 30000)/(1 × 30000) = 16,7%.

Расчет наращенной суммы при плавающей процентной ставки

Если процентная ставка по депозиту менялась в течении срока размещения, то воспользуемся формулой

S = P × (1 + n₁ × i₁ + n₂ × i₂ + … + n _k × i_k).

Пример расчета наращенной суммы при плавающей процентной ставки

Первоначальная сумма вклада P = 75000 руб., в первой половине года применялась простая процентная ставка 7,5% годовых, во второй половине года — 9,5% годовых. Определим наращенную сумму по вкладу в конце года

S = 75000 × (1 + 0,5 × 0,075 + 0,5 × 0,095) = 81375 руб.

Пример сложного процента на банковском депозите

Удобно и выгодно, когда ваши деньги одномоментно задействованы в разных инструментах. Сразу рекомендую не только у менеджера устно, но и в письменном договоре детально изучить — какой именно процент используется и какие есть нюансы по нему. На некоторых банковских сайтах или в мобильных приложениях есть калькулятор сложных процентов с капитализацией и пополнением. Показываю, как работает эта формула.

1. Первоначальный вклад составил 100 тыс. рублей на 1 год с правом пополнения без ограничения суммы под 5% годовых.
2. Во втором полугодии вы добавили к вкладу еще 100 тыс. рублей.
3. За первую половину вы заработали (100000/100*5%) / 2=2500. Во втором полугодии получили (200000/100*5%) / 2 = 5000. Итого прибыль за год 7500.
4. Далее вы можете забрать свои 7500 или добавить их к 200 тыс. или увеличить вклад еще на определенную сумму.

Наиболее выгодно так работать с проверенными инструментами, поэтапно повышая сумму вклада и внося все данные в excel, чтобы не заблудиться.

 
Как правило, разница на доходе с правом неограниченного пополнения и на обычном способе не превышает 0,5-1% в год, а иногда и вовсе отсутствует.

Ради справедливости нужно рассмотреть и правило, как работает формула расчета простых процентов по кредиту, поскольку ее часто применяют в работе. Простой процент начисляется так: сумма кредита умножается на процентную ставку и поделенная на 365 дней. Для примера: у вас кредит на 100 тыс. рублей под 10% годовых. Если предложен дифференцированный способ, то ежемесячно вам будет начисляться 1000 рублей непосредственно за пользование средствами.

Оплачивая их, через определенный срок можно приступить к погашению самого «тела». Многие банки предлагают аннуитетный платеж, работающий по формуле сложного процента. Это означает, что вы будете оплачивать кредит плюс-минус равными долями. 1000 рублей в месяц за сам кредит и, например, 1000 рублей за само тело. Таким образом, уже на второй месяц проценты будут начисляться на 99 тыс. остатка и с каждым месяцем и платеж по процентам, и выплаты по кредиту будут уменьшаться.

Обратите внимание: сложные проценты по кредиту предлагаются на средних и высоких суммах, в частности, когда оформляете ипотеку или покупаете по договору автомобиль из салона. Хотя есть и аналогичные предложения среди кредитных карт, например, карта Халва, где выплаты подразумеваются равными долями за определенный период и иногда вовсе с минимальными процентами

Узнав способ начисления процента в рабочем инструменте, возможность вносить дополнительно средства или погашать кредит досрочно, важно обратить внимание еще на один аспект — ставку дисконтирования. Это величина, применяемая для пересчета грядущих денежных потоков в общую величину актуальной стоимости. С математической точки зрения, это формула, обратная сложному проценту

С ее помощью оценивается, сколько нужно сейчас инвестировать средств, чтобы, например, через 2 года, получить 100 тысяч. Рассчитывается она по формуле: итоговая сумма (100 тыс. руб) равно как произведение неизвестного на (1+0,1 (10% — средняя ставка банка)), возведенное в квадрат. Далее по правилу пропорции выделите тот самый Х (икс). Фактически, это 82644 рубля

С математической точки зрения, это формула, обратная сложному проценту. С ее помощью оценивается, сколько нужно сейчас инвестировать средств, чтобы, например, через 2 года, получить 100 тысяч. Рассчитывается она по формуле: итоговая сумма (100 тыс. руб) равно как произведение неизвестного на (1+0,1 (10% — средняя ставка банка)), возведенное в квадрат. Далее по правилу пропорции выделите тот самый Х (икс). Фактически, это 82644 рубля.

 
Учитывайте правило: ставка дисконтирования должна быть выше предложенной доходности.

В итоге подчеркну: сложные проценты в финансовых инструментах только на первый взгляд выглядят сложными, но, если разобраться в их сути, никаких камней преткновения не возникнет, а еще более — вы сможете получить существенную выгоду. Всем желаю только выгодных начислений для инвестиций и минимальных для кредита, если же вы все же решились его оформить.

Профессиональный инвестор с опытом работы 5 лет с разными финансовыми инструментами, ведет свой блог и консультирует вкладчиков. Собственные эффективные методики и информационное сопровождение инвестиций.

Как рассчитать сложные проценты

Для того, чтобы просчитать, как приумножить деньги сложными процентами и какую прибыль принесет банковский вклад за несколько лет, нужно знать следующие показатели:

первоначальный размер вклада К0

ставка дохода R

количество лет, за которые нужно просчитать доход n

конечная сумма К

По следующей формуле можно рассчитать эту самую конечную прибыль: К=К0*(1+R)n А просчитав размер конечной суммы, легко можно установить размер прибыли – это разница между конечной и первоначальной суммами. При помощи приведенной выше формулы всегда можно просчитать, какой результат принесет в будущем инвестиция.

     Иногда возникают ситуации, когда нужно, наоборот, вычислить стартовую сумму вклада. Тогда эту формулу нужно преобразовать вот в такой вид: K0=K/(1+R)n С помощью формулы можно узнать и такой параметр, как процентная ставка. Эта информация требуется, когда инвестор, к примеру, хочет узнать, какую ставку ему выбрать, и на какой период нужно сделать вклад, чтобы получить конкретную прибыль. Формула вычисления сложных процентов: R=n?K/K0-1 А вот по этой формуле высчитывается период времени, на который нужно вложить средства, чтобы получить определенную желаемую прибыль: n=log1+R*K/K0

     При расчете срока вклада для получения определенной прибыли следует учитывать тот факт, что практически все банки используют целые периоды. То есть, если расчет по формуле показал, что средства для получения конкретной прибыли нужно вложить на 3 года и 9 месяцев, то нужно понимать, что в реальности необходимо будет положить депозит на 4 полных года. Есть и более сложные примеры расчетов прибыли по сложным процентам. К таким примерам относятся вклады с возможностью пополнения. Допустим, у вкладчика есть депозит, который он ежемесячно пополняет определенной суммой. Как же рассчитать, какую прибыль он получит с такого депозита?

Здесь уже простой формулой расчета не обойтись, нужны более сложные механизмы. Рассмотрим эту задачу на конкретном примере: вкладчик положил на счет 1000$ и каждый месяц добавляет к нему 50$. Допустим, процентная ставка составляет 1% в месяц. Для подсчета конечной суммы через пять лет нужно подставить в приведенные выше формулы показатели за каждый период, т.е. за 60 месяцев. Ведь сумма увеличивается не только за счет процентов, но и за счет ежемесячного добавления. При данных условиях по итогам первого месяца сумма на счету составила 1010$. К ней добавились еще 50$. То есть, для расчета конечной суммы во второй месяц процент нужно начислять уже на 1060$. И так далее, до окончания задуманного срока.

Конечно, каждый раз производить такие вычисления довольно сложно, особенно тем, кто не владеет достаточными познаниями в математике. Да и таблицы такие каждый раз не насоставляешься. Поэтому специально для вычисления сложных процентов по вкладам можно разработать свой калькулятор например в таблице excel.

Итак, очевидна разница между простыми и сложными процентами. Однако, следует отметить, что и схема простых процентов при грамотном ее использовании также может принести довольно хорошие результаты в виде прибыли. Более того, простые проценты являются единственным приемлемым вариантом, когда вкладчик нуждается в регулярном выводе средств со счета. Тогда он просто выводит сумму прибыли, накопившейся за месяц, полгода или год. Тогда как сложные проценты более приемлемы в случае долгосрочного вклада и повторного реинвестирования.

В каких случаях используется начисление простых и сложных процентов?

Формула простых процентов по вкладам применяется, когда полученные проценты плюсуются к телу депозита лишь в конце периода или совсем не прибавляются, а переводятся на другой счет. Формулу сложных процентов используют, когда проценты насчитываются через равные временные промежутки (месяц, квартал, год). Это означает проведение капитализации процентов (когда проценты насчитываются на проценты).

Простые проценты используются в случаях оформления краткосрочных вкладов, период действия которых, в основном, меньше года. Метод сложных процентов применяется при долгосрочных вкладах, которые открываются на срок больше года.

Основные правила начисления вознаграждения

Финансовые вычисления включают в себя также анализ инвестиционного процесса. Ведь годовые проценты применяются не только для расчета традиционных методов сохранения средств, то есть для сберегательных вкладов, но и для оценки инвестиций на фондовом рынке. Ниже представлены основные принципы расчета, относящиеся ко всем типам приумножения капитала.

Если процент – это денежные поступления в качестве дохода, то простой и сложный процент – это ставки, по которым этот доход начисляется с определенной периодичностью на тело вклада или долга. При рассмотрении двух видов процента можно заметить, как индивид получает большую доходность, если банк используется сложные проценты. Это связано с постоянным реинвестированием накопленного дохода.

Пример использования простых процентов

Условие задачи № 1

Клиент обратился в банк с просьбой о размещении вклада со сроком на полгода. Для 6 месяцев депозита предусмотрена ставка 8,7 % годовых с ежемесячным начислением. Минимальная сумма для совершения сделки: 30 000 рублей.

Итак, взаимодействуя с банком на предъявленных условиях, получаем:

Сумма процентов = 30 000 х 181 х 8,7 : (100 х 365) = 1294,3 руб. Надо отметить, что расчет годового процента по кредиту выглядел бы совершенно таким же образом.

Но в связи с тем, что в условии сказано о ежемесячной выплате процентов, полученная сумма будет осуществлена шестью платежами. Количество календарных дней влияет на размер этих самых выплат. Допустим клиент обратился в декабре, тогда:

• Проценты за декабрь, январь, март, май = 30 000 х 31 х 8,7 : (100 х 365) = 221,67 руб.
• Проценты за февраль = 30 000 х 28 х 8,76 : (100 х 365) = 200,22 руб.
• Проценты за апрель = 30 000 х 30 х 8,7 : (100 х 365) = 214,52 руб.

В итоге за 6 месяцев сумма депозита или кредита с начисленными процентами составит:

Сумма с процентами = 30 000 х (1 + 181 х 8,7 : (100 х 365)) = 31 294,274 руб. Или просто 30 000 + 1294,3 = 31 294,3 руб.

Как рассчитать через Excel?

Рассчитать в Excel доход от депозита можно на примере. Если необходимо положить на депозит 50 000 руб. с процентной ставкой 8% на три года с ежемесячной капитализацией и просчитать размер дохода через 36 месяцев, нужно составить таблицу, в которую внести 5 столбиков:

1 – сверху вниз указываются месяцы от 1 до 36;

2 — (В4) вписывается в строку сумма вклада – 50 000 руб.;

3 – (С4) указывается % — 8;

4 – (D4) вставляется формула для расчета ежемесячных %: =B4*$C$4/12, в которой В4 – сумма вклада, С4 -% (нужно проставлять значок $, чтобы формула выбирала данное поле, или путем выделения графы С4 курсором с нажатием клавиши F4 на клавиатуре), 12 – месяцы (% высчитывается в годовых);

5 – (Е4) считается новая сумма вклада, которая будет использована для начисления процента. Нужно написать формулу =B4+D4, в которой В4 – сумма вклада, D4 – сумма %, которые были начислены. Это будет новая сумма вклада, исходя из которой начисляются %.

В графу В5 заносится формула = Е4, в которой Е4 – это сумма вклада на истекший месяц с процентами.

Далее нужно скопировать формулы:

• подвести курсор к углу ячейки В5, он изменится с белого плюса на черный;
• потянуть его вниз, произойдет автоматическое копирование формулы из этой ячейки в другие;
• эту же операцию нужно выполнить с формулами, вписанными в ячейки D4, E4.
• В итоге, если все выполнено правильно, должен получиться ответ 63 512 руб.